「数学」庞加莱——组合拓扑学奠基人，横跨19、20世纪的科学大师

亨利·庞加莱（J.Henri Poincaré，1854—1912）是法国著名的数学家、天文学家、理论物理学家和科学哲学家。1854 年4月29 日生于法国南锡。庞加莱天资聪颖，自幼受到良好的家庭教育，在中学时就显露出了非凡的数学才能。1876 年获得理科硕士学位，1879 年获得理科博士学位。庞加莱毕业后在卡昂大学做数学分析教师，1881 年调入巴黎大学理科担任教授，讲授力学和实验物理学等课程。

庞加莱的学术研究起始于1878年，直至他 1912年辞世。在这34年的科学生涯中，他的研究和贡献涉及数学、物理学、天文学、科学哲学等诸多学科，并且开创了许多新的领域。几乎在每一个新领域，他都相当完整地完成了伟大的理论建树，是20世纪初影响力遍布全世界的一位科学大师。他以其出众的才华、渊博的学识、广泛的研究和杰出的贡献而闻名，赢得了同代人和后辈人的赞誉。美国著名科学史家萨顿曾经这样评价庞加莱∶

他是我们这个时代最有智慧的人物。

庞加莱被认为是横跨19、 20世纪的数学界的领袖人物。他所开拓的方向或提出的问题，在几十年后仍是当代数学的经典。庞加莱发明的自守函数使函数论在 19世纪大放异彩。他最先系统而普遍地讨论了几何学图形的组合理论，是公认的组合拓扑学的奠基人，而微分方程定性理论是他在微分方程领域中最为杰出的贡献，始终处于庞加莱数学思想的中心地位。此外，代数几何学、数论、代数学、数学基础、非欧几何学等分支的不少研究课题也都源于他的工作。

庞加莱在物理学和天文学等方面也有许多重大贡献。庞加莱讲授物理学达20年以上，堪称理论物理学的专家，他的研究涉及刚体力学、流体力学、光学、电磁学、相对论和量子论等许多分支。在天文学方面，他以三体问题、太阳系的稳定性、太阳系的起源等研究而闻名遐迩。

在科学哲学方面，庞加莱的科学哲学著作深入浅出，寓深刻的哲学思想于平实的文字中，使所有开卷者都能从中受益，因此受到很多人的欢迎，流传非常广泛。庞加莱还开创了一种独特的哲学观——约定论。这一切使他成为当时世界上最具智慧、最有影响的科学家之一，被人们誉为"理性科学的活跃智囊"、"起统帅作用的天才"、"本世纪初唯一留下的全才"。

庞加莱在科学上的巨大贡献，使他成为法国科学界的杰出代表，并获得了法国政府所能给予的一切荣誉。1887 年，庞加莱被选为法国科学院成员，1906 年当选为法国科学院院长。1908 年，当选为法兰西学院院士，这是法国科学家所能得到的最高荣誉。庞加莱的卓越贡献也使他赢得了国际科学界的尊重。他得到了英国、俄国、瑞典、匈牙利等国的嘉奖，并先后被推举为欧美 40 多个国家学会及学者团体的名誉会员。世界各国学会争相邀请他前往讲演，伦敦、罗马、维也纳、布达佩斯、哥本哈根、纽约、波士顿等地都留下了他的足迹和思想。

庞加莱一一生著述众多，其中专著三十余种，研究报告五百多篇，散见于各国学会杂志之中。法国科学院从1916年开始出版《亨利·庞加莱全集》，到 1954年出齐全部 11卷。这其中包括了庞加莱的重要科学论文、他对自己工作的部分叙述、他的传记作家达布写的传记（第 2卷）以及在他诞辰 100 周年纪念会上人们就他的生平和工作所作的讲演（第11卷）。

庞加莱的科学思想博大精深，学术著作对于当时的甚至是现代的科学界来说，内容都是艰深无比的。即便如此，他那些深奥的专著仍是世界各国学者竞相翻译和研究的经典之作。他最具代表性的科学哲学著作《科学与假设》、《科学的价值》、《科学与方法》和《最后的沉思》被先后译成英、德、俄、西班牙、瑞典、日、中等文字，几乎传遍了整个文明世界。

科学之价值

《科学之价值》是最早被翻译成中文的庞加莱的科学哲学著作，包括数学、物理、科学的客观价值共三编，介绍了庞加莱的主要哲学思想及关于物理学危机的论述。其中，庞加莱在阐述自己的科学观时，提出了"为科学而科学"的著名论断，对直觉在科学研究中的作用以及时空的本性等问题发表了自己的见解。

科学与假设

《科学与假设》是庞加莱最早的一本科学哲学著作，论述问题最为详密而透彻，是研究庞加莱哲学思想的必读之作。"《科学与假设》主要是以哲学观点论述科学与假设的关系，内容分为数与量、空间、力和自然界四部分。在该书中，庞加莱对 19、20 世纪之交的物理学理论的状况进行了较为全面的分析，集中批判了经典力学的一些基本概念和原理，并通过对非欧几何学和物理学中一些基本原理的分析，提出了著名的约定论。

科学与方法

《科学与方法》包括科学和科学家、数学推理、新力学、天文学共四编。在《科学与方法》中，庞加莱提出了关于事实及其选择的指导原则，探讨了空间相对性的涵义，对于当时的各种新问题给出了自己的看法或批评，充分表达了他对于当时物理学前沿领域的见解和洞察。

庞加莱这三部科学哲学著作的翻译出版，是中国第一次较为集中和系统地引进其学说，为中国全面深入地研究和吸收其科学哲学思想提供了第一手的文献资料，为庞加莱学说在中国的传播打下了坚实的基础。这之后，中国学者对庞加莱科学哲学的研究大多源自这三个中译本。

最后的沉思

庞加莱的第四本科学哲学著作《最后的沉思》是由勒邦在他死后集其遗著而成。收录了庞加莱在最后的科学生涯中就数学、数学哲学和科学哲学所发表的九篇文章和讲演，内容涵盖了庞加莱对于自然规律的哲学、相对性问题、量子论及其现代应用问题的思考，以及对科学与伦理学的关系的论述。由于《最后的沉思》非庞加莱自编，所以在组织结构上不如前三部著作那样兼容并包，有条不紊。但即便如此，该书一经出版就成为法国的畅销书。

庞加莱的拓补学

莫比乌斯带是一种简单的结构。它只有一个面和一条边。拓扑学考虑几何物体在弯曲、挤压、拉伸和扭曲变形时的特性。

1895年，庞加莱发表了论文《位置分析》（Analysis situs），连同其后发表的五篇补充论文构成了组合拓扑学的主要骨架，从而宣告这门新学科的诞生。

庞加莱对拓扑学的贡献可概括为以下几点∶

（1） 确定拓扑学的研究对象：一般流形以及把它们三角剖分之后构成的复合形、单纯复合形。

（2） 对 n维流形建立一般的欧拉公式。

（3）引进新的拓扑不变量，其中最主要的是同调和基本群，包括贝蒂数和挠系数。

（4） 证明流形论的基本定理∶庞加莱对偶定理。

（5） 提出一些重要的猜想，如庞加莱猜想和庞加莱最后猜想等。

在庞加莱建立拓扑学之后的 40 年间，拓扑学家的工具袋中主要还是他所创立的同调和基本群。只是在 20世纪20年代中期由于抽象代数学的发展，群、模等概念进入到组合拓扑学中，从而导致拓扑学由组合拓扑学到代数拓扑学的转变。有人这样正确地说过∶

直到1933年发现高阶同伦群之前，拓扑学的发展完全基于庞加莱的思想和方法。

20世纪 30年代，有两部拓扑学的经典著作总结了拓扑学草创时期的成就∶一部是沙爱福的《拓扑学教程》，曾被译为中文、俄文、西班牙文和英文等多国文字。另一部是亚历山大洛夫和霍普夫合著的《拓扑学I》（1935）。这两部著作成为中国研究和传播拓扑学思想的基础。

庞加莱与微分方程

微分方程及其在动力学上的应用一直处于庞加莱数学思想的中心地位。为解决非线性微分方程没有普遍解法及 N体问题，庞加莱创立了微分方程定性理论。

1881一1886年间，庞加莱发表了名为《微分方程所定义的积分曲线》的一系列论文，由此开创了微分方程实域定性理论。这一系列论文成为现代微分方程定性理论的开山之作。它们的中心议题是讨论微分方程积分曲线的几何表示，通过形如：

的微分方程右侧函数的性质来研究其解的性态。庞加莱引进了奇点、极限环的概念，研究了奇点的大范围分布、环面上的积分曲线以及空间周期解的存在及其附近积分曲线的几何拓扑结构等等。

庞加莱创立的微分方程定性理论引发了一系列理论研究的新变革、新突破，促成 20世纪以来微分方程的大发展，不但解决了许多天体力学、物理学及工程技术等方面的实际问题，还引发很多组合拓扑的研究，成为拓扑学的重要思想源泉之一。微分方程定性理论是庞加莱最杰出的数学贡献，自创造伊始就几乎臻于完善，并迅速地被全世界的数学家学习、介绍和研究。

亨利·庞加莱于 1912 年 7 月 17 日在巴黎去世，享年 58 岁，被安葬在巴黎蒙帕纳斯公墓的庞加莱家族墓穴中。